ホーンスピーカー（horn speaker theorem）の原理解析
（多層近似による）
ホーンの理論はいくら調べてもない！
決まったことの羅列・・・
そこで書いてみました。どこにもない資料です。
ｂａｓｉｃと多層近似で解析してみました。
関連質問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10140660180
まず、
https://www.youtube.com/watch?v=UmKh831UE1w
によって、ホーン効果を確認してください。
ホーンに関する質問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10140660180
http://www.elex.ne.jp/shopping/newitem/audio/goto.htmlより後藤ユニット
ウェスタンエレクトリック １５Ａ ホーン
ウェスタン エレクトリック ホーン
http://www18.ocn.ne.jp/~tnk/page002.htmlより
タンノイ ウェストミンスター
http://www.e-bhsp.com/backroad.htmlよりバックロードホーン
トラックのホーン
http://www.diyloudspeakers.jp/6000html/speaker-unit/horngata-sp.htmlより
などとありますが、ぜんぜんわかりませんね！
そこで、
■ 目的
ホーンを付けることによって、どれだけの効果があるかを確かめた。音響インピーダンスＺａ＝０．８２の入り口から、Ｚａ＝０．００３までのホーンの入り口の流れ（ドライバーの動き）とホーン出口圧力ｐの関係を計算することにより、ホーンの効果を調べる。
参考文献（必読）
ホーンスピーカー理解のための音響学
ホーンスピーカー理解のための音響学 - SonofSamlawのブログ (hatenablog.com)
■方法
図１ 計算モデルと多層分割近似
図２ 伝送線路（各層のモデル）
ホーンを図１のように３０等分し、各層内で音響インピーダンスＺａは一定とした。
各層では、図２のように考えると、次の関係がある（付録参照）。まず、電気の用語で書いてみる。特性インピーダンスＺ０、長さＬの線路の両端の電圧、電流の関係である。
Vs=cos(kＬ)*Vr +j Z0*sin(kＬ)*Ir
Is=j*sin(kＬ)*Vr/Z0 + cos(kＬ)*Ir
ここで、Ｖは圧力ｐに、Ｉは体積速度Ｓ＊ｖに置き換えればよい。Ｓは管の断面積、ｖは流速である。ホーン出口以降の音響インピーダンスを定めこれをZａとする。ここでは、Ｚａ＝０．００３の管とした。また、そこでとりあえずＳ＊ｖ＝１とすると、ｐ＝Ｚａとなる。これより、図１のすべての層のについて、上の式で求めていけば、ドライバーの位置での、ｐとＳ＊ｖがもとまる。それをｐｓ、Ｓｓ＊ｖｓとする。すると、ホーン出口での圧力は、実際のドライバーの動きの、
Ｚａ／（Ｓｓ＊ｖｓ）
倍であることがわかる。つまり、この計算で、Ｓｓ＊ｖｓは小さいほうが効率がいいのである。これは、ドライバーを流速源と考えた場合であるがはたして・・・
■ホーンドライバーはｐ源？ ｖ（流速）源？
電気で言う電圧源なのか、電流源なのか？ 振動版が動くということはｖ源か？
たぶんｖ源であろう。つまり、電気では、Ｉ（ｉ） 源なのであろう・・・
だから、インピーダンスが小さいものを駆動すればｐは小さくなる。つまり、音圧は小さくなる、てなわけか？
そこで、ドライバー振動速度はいかなる時でも同じと仮定してみる。
■ホーンを付けない場合
この場合。、ドライバのＳ＊ｖを１としてみる。ホーン以後のＺａを０．００３とする。音圧ｐは、Ｓ＊ｖの０．００３倍で、ｐ＝０．００３となる。
■ホーンを付けた場合
図１のようなexpホーンで、長さは１ｍとし、ドライバ側口幅１ｍ、出口側幅３００ｍとした。厚さは１ｍとする。多層分割は３００００である。周波数はまず５００Ｈｚ（λ＝０．６６ｍ）とする。 ホーン出口のＳ＊ｖを１とすると、計算の結果ドライバ部分のＳ＊ｖは０．０５２となる。つまり、ホーン出口ではＳ＊ｖは、ドライバの１９．２倍になる。、ドライバ端でのＺａは１．１２である。Ｚａは３７３倍になる。
図３ expホーンの解析モデル
また、図４のような３角形ホーンでは、入り口出口寸法をｅｘｐホーンと同じにした場合、ドライバ端でのＳ＊ｖは０，２４である。つまり、ホーン出口ではＳ＊ｖは、ドライバの４．２倍になる。、ドライバ端でのＺａは０．１２である。Ｚａは４０倍となる。、やはりexpホーンの効果がわかる。
図４ ３角ホーンの解析モデル
■Ｌ＝１ｍ
ｅｘｐホーンで周波数を変えて入り口のＺａをみた(L=1m)。
ｆ 1 10 3 0 100 300 500 1000 3000 10000 100000
Ｚａ 0.003 0.03 0.1 0.38 1.3 1.1 0.9 0.9 1.１ 0.9
となり、３００Ｈｚ以下で落ち込み、ホーンがない場合と同じになってしまう。これは波長がホーンの長さ以上で落ち込む。分割は３００００である。
３角ホーンで周波数を変えて入り口のＺａをみた(L=1m)。
ｆ １ 10 3 0 100 300 500 1000 3000 10000 100000
Ｚａ 0.003 0.005 0.01 0.04 0.09 0.12 0.2 0.41 0.83 0.9
■ｌＬ＝１０ｍ
exp
ｆ 1 10 100 1000 10000 100000 1000000
Ｚａ 0.03 0.38 0.9 1.1 0.9 1.1 0.9
３角
f 1 10 100 1000 10000 100000 1000000
Za 0.035 0.2 0.83 0.9 1.1 0.91 1.1
■ＥＸＰと３角ホーンのＺＡの比較
図５ ＥＸＰと３角ホーンの比較（ホーン長さＬ＝１ｍ）
図６ ＥＸＰと３角ホーンの比較（ホーン長さＬ＝１０ｍ）
★別な視点から見たホーンのひ必要性、効果は
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n373000
■expホーンの決め方
入り口と出口の大きさ、そして長さＬを決めると、一意にきまってしまう。
ｙ＝A*exp(Bx)
であるから、Ｘ＝０でｙ＝ｙ１、ｘ＝Ｌでｙ＝ｙ２とすると、
ｙ１＝Ａ
ｙ２＝ｙ１＊ｅｘｐ（ＢＬ）
Ｂ＝（１／Ｌ）Ｉｎ（ｙ２／ｙ１）
と決まる。
■ドライバーの動き
図７ ホーンドライバーのブロック図
ドライバーのブロック図を図５に示す。Ｉは電流、ｋは推力定数、ｍは可動部の質量、ｖは流速、Ｚａはドライバー部分からホーンを見たときの音響インピーダンス、Ｓは断面積である。これによると、
ｖ＝Ｉ*k*(1/m*s)/(1+Za*S^2/(m*s)) = Ｉ*(k/m)/(s + Za*S^2/m)
となる。高い方の遮断周波数 ｆ２は
f２ = Za*S^2/(2*π*m)
ホーンにより、Ｚａを上げることは、ｆ０を上げることにもなる。
さらに、振動版がばね（ｈ）支持されている場合も考えてみます。それを図６に示します。
図８ 振動版がばね（ｈ）支持されているとき
ｖ＝Ｉ*k*(1/m*s)/(1+1/(m*s)*(Za*S^2 + h/s) )
=Ｉ*k/(m*s + (Za*S^2 + h/s) )
=Ｉ*( k / m) / (s + Za*S^2 / m + (h/m)/s )
低い方の遮断周波数 ｆ１ は
f1=h / (2*π*Za*S^2)
となる。ｈが小さく、Ｚａが大きいほどｆ１を低くできる。
つまり、ｆ１を決めるのはホーンの長さか、振動版支持ばねｈとＺａ、ｆ２を決めるのは振動版質量とＺａであることがわかる。
付録
■特性抵抗Ｚ０の伝送線路の性質（電気の場合）
Vs = cosh(γ*l)*Vr + Z0*sinh(γ*l)*Ir (1)
Is = (1/Z0)*sinh(γ*l)*Vr + cosh(γ*l)*Ir (2)
ここに
Vr ： 受端の電圧 (V)
Ir ： 受端の電流 (A)
Vs ： 送端の電圧 (V)
Is ：送端の電流 (A)
l ： 線路の長さ (m)
γ：伝搬定数
参考
http://www.mogami.com/paper/tline/tline-01.html
線路上の電圧をＶ（ｘ）とします。左端がｘ＝０です。
入力が大変なので、伝搬定数γを似ているｙとします(^^)
V(x)=V1e^-yx + V2e^yx (3)
Ｖ１，Ｖ２はそれぞれ線路を右、左に進む信号です。
Vs=V1+V2 (4)
Vr=V1e^-yl+V2e^yl (5)
Is=V1/Z0-V2/Z0 (6)
Ir=V1/Z0*e^-yl-V2/Z0*e^yl (7)
(5),(7)より、
V1=Vr/2*e^yl + IrZ0/2*e^yl (8)
V2=Vr/2*e^-yl - IrZ0/2*e^-yl (9)
(4),(6)より、
V1=Vs/2+Z0Is/2 (10)
V2=Vs/2-Z0Is/2 (11)
(10),(11)より V1+V2=Vs,(V1-V2)/Z0=Isであるから、(8),(9)とあわせて、
Vs=(e^yl+e^-yl)Vr/2 + Z0(e^yl-e^-yl)Ir/2
Is=(e^yl-e^-yl)Vr/(2Z0) + (e^yl+e^-yl)Ir/2
つまり、
Vs=cosh(yl)*Vr + Z0*sinh(yl)*Ir (12)
Is=sinh(yl)*Vr/Z0 + cosh(yl)*Ir (13)
となる。これは、つぎのようになる。ここで、伝搬定数を損失のない場合で考えｋとする。
Vs=cos(kl)*Vr +j Z0*sin(kl)*Ir
Is=j*sin(kl)*Vr/Z0 + cos(kl)*Ir
Vs,Is,Vr,Irは複素数でそれを、Vsr,jVsi,Isrj,Isi,Vrr,jVri,Irr,jIriとすると、
Vs=cos(kl)*(Vrr+j Vri) +j Z0*sin(kl)*(Irr+j Iri) より、
Vsr =cos(kl)*(Vrr) - Z0*sin(kl)*( Iri) (14)
Vsi=cos(kl)*( Vri) +Z0*sin(kl)*(Irr) (15)
Is=j*sin(kl)*(Vrr+j Vri)/Z0 + cos(kl)*(Irr+j Iri) より、
Isr=-sin(kl)*(Vri)/Z0 + cos(kl)*(Irr) (16)
Isi=sin(kl)*(Vrr)/Z0 + cos(kl)*( Iri) (17)
ーーーーーーーーーーーーーーーー
参考
http://www.gtr.co.jp/hobby-site/mc/mc-horn.htm
http://ms-laboratory.jp/hobby/audio/horn/horn.htm
http://www.diyloudspeakers.jp/6000html/speaker-unit/horngata-sp.html
音響学
－－－－プログラム ｅｘｐホーンーーーー
REM exp
REM 30000
REM 500Hz,1m
LET N=30000
LET A=0.2
LET L=1
LET f=500
LET rmd=330/f
LET kl=2*PI*L/rmd/30000
REM LET kl=0.032/100
LET Vrr=0.003
LET Vri=0
LET Irr=1
LET Iri=0
FOR I=1 TO N
LET Y=EXP*1
PRINT Vsr,Vsi,Isr,Isi
PRINT S,T
END
－－－－プログラム ３角ホーンーーーー
REM 3角
REM
REM 500Hz,1m
LET N=30000
LET A=0.2
LET L=1
LET f=500
LET rmd=330/f
LET kl=2*PI*L/rmd/30000
REM LET kl=0.032/100
LET Vrr=0.003
LET Vri=0
LET Irr=1
LET Iri=0
FOR I=1 TO N
LET Y=(30000-I)/100.33+1
REM 1, 300
LET Z0=1/Y
LET Vsr =cos(kl)*(Vrr) - Z0*sin(kl)*( Iri)
LET Vsi=cos(kl)*( Vri) +Z0*sin(kl)*(Irr)
LET Isr=-sin(kl)*(Vri)/Z0 + cos(kl)*(Irr)
LET Isi=sin(kl)*(Vrr)/Z0 + cos(kl)*( Iri)
LET Vrr=Vsr
LET Vri=Vsi
LET Irr=Isr
LET Iri=Isi
NEXT I
LET S=SQR(Isr^2+Isi^2)
LET T=sqr*2
PRINT Vsr,Vsi,Isr,Isi
PRINT S,T
END
－－ＥＸＰ、３角ホーン周波数特性比較プログラム－－－－－
REM 1 m 10kHz
REM exp
REM 30000
REM 500Hz,1m
LET M=1000
LET N=30000
LET fmin=10
LET fmax=100000
LET Lfmax=LOG10(fmax)
LET Lfmin=LOG10(fmin)
LET dh=(Lfmax-Lfmin)/M
SET VIEWPORT 0.1,0.9,0.1,0.9
SET WINDOW Lfmin,Lfmax,-3,1
SET LINE STYLE 3
FOR s=1 TO 5
PLOT POINTS:Lfmin,-4+s
PLOT LINES:Lfmin,-4+s;
PLOT LINES:Lfmax,-4+s
NEXT s
FOR s=1 TO 5
PLOT POINTS:Lfmin-1+s,-4
PLOT LINES:Lfmin-1+s,-4;
PLOT LINES:Lfmin-1+s,1
NEXT s
SET LINE STYLE 1
SET POINT STYLE 1
FOR j=1 TO M
LET h=Lfmin+j*dh
LET f=10^(h)
LET L=1
LET rmd=330/f
LET kl=2*PI*L/rmd/N
rem GO TO 10
REM ==============================================
LET Vrr=0.003
LET Vri=0
LET Irr=1
LET Iri=0
FOR I=1 TO N
LET Y=EXP*3
LET Z0=1/Y
LET Vsr =cos(kl)*(Vrr) - Z0*sin(kl)*( Iri)
LET Vsi=cos(kl)*( Vri) +Z0*sin(kl)*(Irr)
LET Isr=-sin(kl)*(Vri)/Z0 + cos(kl)*(Irr)
LET Isi=sin(kl)*(Vrr)/Z0 + cos(kl)*( Iri)
LET Vrr=Vsr
LET Vri=Vsi
LET Irr=Isr
LET Iri=Isi
NEXT I
LET S=SQR(Isr^2+Isi^2)
LET T=sqr*4
LET LGT=LOG10(T)
REM PRINT Vsr,Vsi,Isr,Isi
REM PRINT S,T
REM PRINT Lfmin,lfmax
PRINT f,T,LGT
IF j=0 THEN PLOT POINTS:h, LGT
PLOT LINES : h, LGT;
REM PLOT LINES:Lfmax/3,-20;
REM PLOT LINES:Lfmax/2,-1;
NEXT j
REM================三角============================
10
REM 1 m 10kHz
REM ３角
PLOT LINES
FOR j=1 TO M
LET h=Lfmin+j*dh
LET f=10^(h)
LET rmd=330/f
LET kl=2*PI*L/rmd/N
LET Vrr=0.003
LET Vri=0
LET Irr=1
LET Iri=0
FOR I=1 TO N
LET Y=(N-I)*299/N+1
LET Z0=1/Y
LET Vsr =cos(kl)*(Vrr) - Z0*sin(kl)*( Iri)
LET Vsi=cos(kl)*( Vri) +Z0*sin(kl)*(Irr)
LET Isr=-sin(kl)*(Vri)/Z0 + cos(kl)*(Irr)
LET Isi=sin(kl)*(Vrr)/Z0 + cos(kl)*( Iri)
LET Vrr=Vsr
LET Vri=Vsi
LET Irr=Isr
LET Iri=Isi
NEXT I
LET S=SQR(Isr^2+Isi^2)
LET T=sqr*5
LET LGT=LOG10(T)
REM PRINT Vsr,Vsi,Isr,Isi
REM PRINT S,T
REM PRINT Lfmin,lfmax
PRINT f,T,LGT
IF j=1 THEN PLOT POINTS: h, LGT
PLOT LINES : h, LGT;
NEXT j
END
*1:30000-I)*0.00019)
REM 1, 300
LET Z0=1/Y
LET Vsr =cos(kl)*(Vrr) - Z0*sin(kl)*( Iri)
LET Vsi=cos(kl)*( Vri) +Z0*sin(kl)*(Irr)
LET Isr=-sin(kl)*(Vri)/Z0 + cos(kl)*(Irr)
LET Isi=sin(kl)*(Vrr)/Z0 + cos(kl)*( Iri)
LET Vrr=Vsr
LET Vri=Vsi
LET Irr=Isr
LET Iri=Isi
NEXT I
LET S=SQR(Isr^2+Isi^2)
LET T=sqr((Vsr^2+Vsi^2)/(Isr^2+Isi^2
*2:Vsr^2+Vsi^2)/(Isr^2+Isi^2
*3:N-I)*(5.704/N
*4:Vsr^2+Vsi^2)/(Isr^2+Isi^2
*5:Vsr^2+Vsi^2)/(Isr^2+Isi^2
