ライター：mpcsp079さん（最終更新日時:2016/4/29）投稿日：2016/4/18
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ΔΣDAコンバータ ＭＡＳＨ方式について
⊿Σ方式のＤＡＣは３次以上で発散する。発振ではない。そこでＭＡＳＨが出てきた。１２８のＯＳで２次とＭＡＳＨ２次、３次を比較してみる。周波数は１ｋＨｚ
１）http://www.eit.lth.se/fileadmin/eit/courses/etin60/lectures/lec10.pdf#search='ΔΣ+ＤＡ'
２）
http://ameblo.jp/etsuo-okuda/entry-10478334894.html
3)１ｂｉｔＤＡＣへの長い道のり ～そして、その先
http://www.geocities.co.jp/Milkyway/5457/dac.htm
図１ ＭＡＳＨ ⊿ΣＤＡＣ（資料（１）から）
ａ，ｂはマルチビットＤＡである。
図２ ３次ＭＡＳＨ ＤＡＣ（資料（２）から）
■線形解析
図３ 線形解析（１）の文献
図４ こうかな？？？（２）の文献
図４で考えると、
ｖ１＝ｕ＋ｄ１（１－ｚ＾－１）
ｅ１＝ｖ１－ｄ１ーｖ１＝ーｄ１
ｖ２＝e1＋ｄ２（１－ｚ＾－１）
ｖ２’＝e1（１－ｚ＾－１）＋ｄ２（１－ｚ＾－１）＾２
＝ーｄ１（１－ｚ＾－１）＋ｄ２（１－ｚ＾－１）＾２
ｖ１＋ｖ２’＝ｕ＋ｄ２（１－ｚ＾－１）＾２
これは、２次のノイズシェイピングと同じである。
３次は図２で考えると、
ｖ１＝ｕ＋ｄ１（１－ｚ＾－１）
ｅ１＝ｖ１－ｄ１ーｖ１＝ーｄ１
ｖ２＝e1＋ｄ２（１－ｚ＾－１）＾２
ｖ２’＝e1（１－ｚ＾－１）＋ｄ２（１－ｚ＾－１）＾３
＝ーｄ１（１－ｚ＾－１）＋ｄ２（１－ｚ＾－１）＾３
ｖ１＋ｖ２’＝ｕ＋ｄ２（１－ｚ＾－１）＾３
■シミュレーション
図５ シミュレーションした内容（１）の文献
図６ こうかな？？？（２）の文献
■ ＭＡＳＨ２次
図７ 図６のＭＡＳＨ２次のみ（１６ビット最小値）
図８ 図６のＭＡＳＨ（１６ビット最小値＊２）
■２次のみ（ＭＡＳＨではない）
図９
図１０
■３次ＭＡＳＨ（図２のもの）
図１１
図１２
２次とＭＡＳＨ２次は同じ結果になっていることがわかる。
ーーーープログラムＭAＳＨ２次ーーーーーーーーー
REM MASH
REM 誤差に（１－ｚ＾－１）をかけて足す
REM ２次 44.1kHz 3次フィルタ10000Hz 最後をとる
REM s=100,cは３．６になる,
REM 128倍
REM IN小さくして分解能見る、ＷＩＮＤＯＷ変えた
DIM v(100000),c(100000),e(100000),u(100000)
DIM vv(100000),vvv(100000),vvvv(100000)
DIM v2(100000),c2(100000),e2(100000),u2(100000)
DIM vv2(100000),vvv2(100000),vvvv2(100000)
DIM v3(100000)
LET n=100000
LET t=1.77E-7
LET tt=0
REM Hz
LET f=1000
LET OM=2*PI*f
LET v(1)=0
LET c(1)=0
LET e(1)=0
LET v2(1)=0
LET c2(1)=0
LET e2(1)=0
LET m=10000000/f
LET MAX=0
LET z=2*1.53E-5
SET WINDOW 0,m,-z,z
FOR i=3 TO m
LET tt=tt+t
LET u(i)=(z/2)*SIN(tt*OM )
LET c(i)=u(i)+e(i-1)
REM-----------------
LET s=100
IF c(i)>s THEN
LET c(i)=s
ELSE
END IF
IF c(i)<-s THEN
LET c(i)=-s
ELSE
END IF
REM-----------------
REM-----------------
LET s=100
IF c2(i)>s THEN
LET c2(i)=s
ELSE
END IF
IF c2(i)<-s THEN
LET c2(i)=-s
ELSE
END IF
REM-----------------
REM-----------------------------------------
REM-----------------------------------------
LET w=1
IF c(i)>0 THEN
LET v(i)=w
ELSE
LET v(i)=-w
END IF
REM-------------
LET e(i)=c(i)-v(i)
LET c2(i)=e(i)+e2(i-1)
REM-----------------------------------------
LET w=1
IF c2(i)>0 THEN
LET v2(i)=w
ELSE
LET v2(i)=-w
END IF
REM-------------
LET v3(i)=v2(i)-v2(i-1)
LET e2(i)=c2(i)-v2(i)
REM-----------------
LET w=10000000
IF e(i)>w THEN
LET e(i)=w
ELSE
END IF
IF e(i)<-w THEN
LET e(i)=-w
ELSE
END IF
REM-----------------
REM-----------------
LET w=10000000
IF e2(i)>w THEN
LET e2(i)=w
ELSE
END IF
IF e2(i)<-w THEN
LET e2(i)=-w
ELSE
END IF
REM-----------------
NEXT I
REM--------------------------------fiter---
LET a=2*PI*10000
FOR I=3 TO m
LET vv(i)=(v(i)+v(i-1)-vv(i-1)*(1-2/(t*a)))/(2/(t*a)+1)
NEXT i
FOR I=3 TO m
LET vvv(i)=(vv(i)+vv(i-1)-vvv(i-1)*(1-2/(t*a)))/(2/(t*a)+1)
NEXT i
FOR I=3 TO m
LET vvvv(i)=(vvv(i)+vvv(i-1)-vvvv(i-1)*(1-2/(t*a)))/(2/(t*a)+1)
NEXT i
REM---------------
REM--------------------------------fiter---
LET a=2*PI*10000
FOR I=3 TO m
LET vv2(i)=(v3(i)+v3(i-1)-vv2(i-1)*(1-2/(t*a)))/(2/(t*a)+1)
NEXT i
FOR I=3 TO m
LET vvv2(i)=(vv2(i)+vv2(i-1)-vvv2(i-1)*(1-2/(t*a)))/(2/(t*a)+1)
NEXT i
FOR I=3 TO m
LET vvvv2(i)=(vvv2(i)+vvv2(i-1)-vvvv2(i-1)*(1-2/(t*a)))/(2/(t*a)+1)
NEXT i
REM---------------
PLOT POINTS:0,0
FOR I=3 TO m
PLOT LINES: i, u(i);
PLOT LINES:i+1,u(i);
NEXT I
REM--------------
PLOT POINTS:0,0
FOR I=3 TO m
REM PLOT LINES: i, vvvv(i);
REM PLOT LINES:i+1,vvvv(i);
NEXT I
REM--------------
PLOT POINTS:0,0
FOR I=3 TO m
PLOT LINES: i, vvvv(i)+vvvv2(i);
PLOT LINES:i+1,vvvv(i)+vvvv2(i);
REM PRINT c2(i)
NEXT I
REM--------------
REM PRINT
END
ーーーーーＭＡＳH３次ーーーーーー
変更点
LET e(i)=c(i)-v(i)
LET c2(i)=e(i)+e2(i-1)
LET c2(i)=e(i)-e2(i-2)+2*e2(i-1)
文献１２）は読みずらいので、ここに引用しておく
ーーーーー引用ーーーーーーーー
ＣＤに刻まれている信号が「１６ｂｉｔ」だという事はご存知ですね。 そして、ｆｓ（標本化周波数）が４４．１ＫＨｚという事も。
１６ｂｉｔというのは量子化分解能です。１６桁の０と１、即ち１６桁の２進数、約６万５千段階です。 音楽信号の連続して変化する波形を４４．１ＫＨｚでサンプリングします。つまり１秒を４４１００分割して、分割した１パートの範囲内では「変化して いない」とみなしてしまうのです。
本来電圧値は時間によって変化するので、アナログ的には時間（ｔ）の関数 として捉えますが、デジタル処理では連続したものは扱えませんので、離散的なデータに変換します。これが「標本化」（サンプリング）です。各標本は「 時間の関数」ではなく単純な「量」です。
更にその「量」もまた、もともとはアナログ量（どんな値でもアリ）なんで すが、最大値と最小値を決めて、その間を６万５千段階に区切って、そのどれかのうち最も近い値（最初は単純に端数切り捨てか切り上げでしたが、最近は もうちょっと賢い処理をしています）を選びます。これが量子化（クォンタイズ）です。電圧値もまた連続量ではなく、離散的な値になります。
時間軸方向にｆｓを限りなく上げ、電圧値方向にはｂｉｔ数を限りなく増やせば「離散」ではありますが「連続」と区別できなくなります。数学で言うと ころの「極限」は「アナログと同じ」です。でも実際には家庭で購入出来る価格でなければ意味がないので、その範囲で限界がありました。その値が４４． １ＫＨｚであり１６ｂｉｔだったのです。
時間方向には４４．１ＫＨｚ、電圧値方向には１６ｂｉｔ。この「細かさ」が「充分」かどうかは当時から議論の的でした。さてお気付きでしょうか。ＣＤに刻まれた信号はそもそも「階段上の波形」なのだという事に。このギザギザが「量子化ノイズ」です。このノイズは凄く 大きなエネルギーを持っていますが、幸いな事に信号（２０ＫＨｚまで）より高い周波数です。そこでフィルタを通して不必要な高い周波数の成分を除去（ 波形を滑らかに）してやると、元と変わらぬきれいな波形を再現できます。
ＣＤの初期は、このフィルタの性能が勝負でした。２０ＫＨｚまではきっち り通して４４．１ＫＨｚから上はすっぱり遮断するなんてフィルタはどんなに金を積んでも実現できやしません。「きっちり」か「すっぱり」のどちらかを 重視するともう一方はある程度諦めなければならないのでした。その諦めの水準を僅かに高くするだけで値段は簡単に桁が増えてしまうのでした。
最初に「デジタルフィルタ」を導入したのはヤマハだったと思います。４４．１ＫＨｚの間隔で並ぶデータの「間」のデータを「補完」して８８．２ＫＨｚ で標本化された信号としてＤＡＣにかければ、その後のアナログフィルタはかなり楽になります。これにより初めて定価１０万円を割るＣＤ－Ｘ１が発表さ れ、その後ＣＤプレーヤは一気に低価格化できるようになりました。
もともとＣＤはエラー等である時刻の値が失われた時、前後の値から失われ たデータを「補完」するという技術を基本に持っていました。デジタルフィルタはその技術を見事に応用したと言えます。尤も、デジタルフィルタの技術そ のものはＣＤの補完技術から生まれたものではないようですが。
オーヴァサンプリングが常識となり、４ｆｓ、８ｆｓ、１６ｆｓとエスカレ ートしていきましたが、実際にはオーヴァサンプルだけでは４ｆｓ以上はそう大した改善がない事が知れると、オーヴァサンプル競争は一旦鎮静化します。
次に仕掛けてきたのもヤマハでした。今度は１６ｂｉｔのＣＤを再生するのに１８ｂｉｔのＤＡＣを使う「Ｈｉ－ｂｉｔシステム」を発表しました。これ は実はデジタルフィルタの開発過程からすると自然な流れであったとも言えます。データとデータの隙間を計算により埋めようとすると、算出された値には しばしば「端数」が出ます。例えば１ｂｉｔの段差の間を埋めようとすれば、その中間の値が出てしまいます。デジタルフィルタを最初から１８ｂｉｔで計算するものにして、１８ｂｉｔになって出てくるデータを１８ｂｉｔのＤＡＣで復調してやればより正確な出力が得られる。このハイビット化もすぐに過当 競争となり、現在では２０ｂｉｔ以上が常識となっています。
しかし、２０ｂｉｔと言えば最大ビットと最小ビットは百万倍にもなります。 その間の階段をまっすぐに作るのは容易ではありません。レーザートリミング等で全体をまっすぐに近づければ逆に僅かなうねりが不規則に生じ、安物ＤＡＣでは分解能は確かに２０ｂｉｔでも下４ｂｉｔぐらいは意味がなかったりしたものでした。現在の技術でも直線性のいい２０ｂｉｔＤＡＣを量産するのは かなり困難で、それ以上のハイビットはあまり意味がないと思ってよいのではないでしょうか。
この少し前、マランツから４ｆｓ１４ｂｉｔＤＡＣという不思議なプレーヤ が発売されています。日本では「下２ｂｉｔを捨てるなんて！」とやたら不人気でしたが、実は結構いい音していたのでした。この製品の歴史的意味が真に 理解されるまでには２１世紀に入ってしまうでしょう。 実は、使っているＤＡＣは確かに１４ｂｉｔＤＡＣなのですが、システム全体としては１７ｂｉｔ分の分解能を持っていたのです。しかも１４ｂｉｔＤＡＣは精度が高いのです。最小ビットと最大ビットの比が１６ｂｉｔより２ｂｉ ｔ少ない分１／４になるので、同じ精度で作ったら１４ｂｉｔの方が高精度になってしまうのです。ＤＡＣの精度とは「最小ビット何個分の狂い」ですから、最小ビットの大きな１４ｂｉｔＤＡＣはその分狂いが小さいという事になるのです。
でも、この製品は当時は鳴かず飛ばずで決してヒットはしていませんので、 今の歴史では大きく扱われてはいません。ハイビット戦争の真っ只中、フィリップスが「１ｂｉｔＤＡＣ」を発表します。マランツはフィリップスのＤＡＣを好んで使っていますから、先述の１４ｂｉｔＤＡＣシステムもフィリップスのものだったかも知れません。実はこの １ｂｉｔＤＡＣ、先述の１４ｂｉｔＤＡＣシステムと同じ発想を更に進めたものだったのです。
１ｂｉｔ、即ち「０」と「１」の２値のみで出力するＤＡＣはフィリップス／ ヤマハのＰＤＭ（パルス密度変調）系とＳＯＮＹ／松下を中心とするＰＷＭ（パルス幅変調）系があり、ＰＷＭ系の多くは電圧方向が２値ではないハイブリ ッド系パルスＤＡＣになっていますので、厳密には１ｂｉｔではありません。よって以後「１ｂｉｔＤＡＣ」という言葉を避け「パルスＤＡＣ」と総称します。
１ｂｉｔＤＡＣは最大ｂｉｔも最小ｂｉｔもありませんのでＤＡＣ精度としては電圧的には電源の精度（電源電圧の変動が信号にモロに乗る）、時間的に は水晶発振器の精度になります。きちんと作ればとても直線性のよいＤＡＣシステムになります。パルスＤＡＣの先祖は７０年代にトリオ（今のケンウッド）のＦＭチューナ に搭載された「パルスカウント検波」でしょう。しかしＤＡＣシステムに採用されるに至るまでにはもうひとつの技術「ノイズシェイピング（以下ＮＳ）」が欠かせません。 実は、オーヴァサンプリングを行うと４倍につき１ｂｉｔの割合で分解能がＵＰしていたのです。４倍で１ｂｉｔ、１６倍なら２ｂｉｔという具合に。 そこにＮＳを使うと、更に２倍につき１ｂｉｔ、分解能が上がるのです。つまりＮＳを使った場合４ｆｓで３ｂｉｔ、８ｆｓでは４．５ｂｉｔ、１６ｆｓな ら６ｂｉｔ、分解能がｕｐするのです。
そう。先述のマランツのシステムはＮＳを搭載した最初のＣＤプレーヤだっ たのです。そのため４ｆｓで＋３ｂｉｔ、合計１７ｂｉｔ分の分解能を持っていたのです。 このＮＳを多重にかける技術がパルスＤＡＣの実現には不可欠だったのです。 ２重ぐらいまでならそんなに困難はないのですが、３重以上かけようとするととても不安定になり易いのです。そこでフィリップスが採用したのは２次ＮＳ つき１２８ｆｓ１ｂｉｔ（これは本物）ＤＡＣでした。１２８といえば２の７乗ですから、＋１７．５ｂｉｔ分の分解能改善が得られ、実に全体として１８． ５ｂｉｔ相当の分解能が得られるのです。これに対しＮＴＴが松下と協力して作ったＭＡＳＨは３２～６４ｆｓで作るため３次のＮＳに挑戦、何とかこれを実現しました。３次だと３２ｆｓ（２の５乗）で＋１７．５ｂｉｔの改善が得られます。
ＭＡＳＨが３次にこだわったのは、パルスＤＡＣが宿命的に持つ高周波ノイ ズ問題を少しでも軽減したかったからでした。パルスＤＡＣはとても高い周波数のパルスを使うため、フィルタなどお構いなしに電波となって空中を飛んで オーディオ信号系に飛び込んでしまうからです。専ら据え置の高級機を志向したフィリップスはしっかりしたシールドを施す事を前提に特性の素直な２次Ｎ Ｓ１２８ｆｓを選び、ポータブルプレーヤに採用したかったＭＡＳＨは３２ｆｓで済む３次に挑みました。
以上が１ｂｉｔＤＡＣ登場までのおおまかなＤＡＣシステムの歴史と解説です。結構私情も入ってますので、細部は幾分（多分に）思い込みの部分もある かも知れませんが、技術的にはだいたいこんな感じで間違いないと思います。 現在では、マルチｂｉｔＤＡＣとパルスＤＡＣはどちらも熟成されていて、 どちらかが決定的に優れているとは言えません。ただ安価な製品ではマルチｂｉｔよりパルスＤＡＣの方が安く作れるため殆どがパルスＤＡＣを使っています。逆に高価な製品となると高周波をシールドするのにコストがかかったり、オーディオとは無縁の高周波の技術が必要になるためオーディオ屋はマルチｂｉｔを選びたがる傾向があるように思えます。
いまだ気付かれないようですが、かのマランツのシステムは大きな「答え」 を示しています。直線性に優れる高速の８～１２ｂｉｔＤＡＣに安定な２次のＮＳを併用して１６～６４ｆｓで使えば、周波数も高過ぎず、直線性もよい最高のＤＡＣが作れる筈なのです。しかも８～１０ｂｉｔのＤＡＣはＶＩＤＥＯ用の高速な製品が安価に量産されています。これを使わない手はない。…って いう論文を同人誌に発表したのはもう５年も前です。トホホーっ。 もし現代のオーディオ技術者が馬鹿ばかりでなければ２１世紀はミドルｂｉｔＤＡＣの時代となり、かのマランツのプレーヤは歴史の金字塔として語られるようになるでしょう。
8/6'98 そんぴ ( sompi@msh.biglobe.ne.jp )
